30
2013
09

几何证明1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

根据我昨日证明公式13+23+33+…+n3=n2(n+1)2/4的方法,我重新排列了正方形的位置,终于成功证明了公式12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6。证明图如下:

1.JPG

图中有n个正方形(我只画出5个),都置于图中最大的矩形中。

矩形的宽即n

矩形的长:1+2+3+…+n=n(n+1)/2=(n2+n)/2

矩形面积:n(n2+n)/2=(n3+n2)/2

左下部空余部分(矩形与全部正方形的差)可以分为n-1条。

每条宽度均为1。从上向下数第i条长度=1+2+3+…+i=i(i+1)/2=(i2+i)/2

则第i条面积也为(i2+i)/2。

所有n-1条的总面积:

(12+1)/2+(22+2)/2+(32+3)/2+…+[(n-1)2+(n-1)]/2

={[12+22+32+…+(n-1)2]+[1+2+3+…+(n-1)]}/2

=[(12+22+32+…+n2)-n2+n(n-1)/2]/2

=[(12+22+32+…+n2)-2n2/2+(n2-n)/2]/2

=[(12+22+32+…+n2)-(n2+n)/2]/2

为便于书写,记12+22+32+…+n2=t2

显然,大矩形面积=全部正方形面积+空余部分面积,则

(n3+n2)/2=t+[t-(n2+n)/2]/2

n3+n2=2t+t-(n2+n)/2

2n3+2n2=6t-n2-n

6t=2n3+3n2+n

t=n(n+1)(2n+1)/6

即:

12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

30
2013
09

几何证明1^3+2^3+3^3+…+n^3=n^2(n+1)^2/4

为证明12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6,我决定借助于几何图形。如图:

1.JPG

图中有n个小正方形(我只画了5个)连接,边长分别为1、2、3、…、n。这些小正方形都置于一个大正方形中,则

大正方形边长=1+2+3+…+n=n(n+1)/2

大正方形面积=[n(n+1)/2]2=(n4+2n3+n2)/4

将空余部分分条。

先看左下部分,共有n-1条。设某条按从左到右顺序为第i条,则:

该条宽度即为i。

该条长度=(i+1)+(i+2)+(i+3)+…+n=(n-i)(n+i+1)/2=(n2+n-i2-i)/2

则该条面积=i(n2+n-i2-i)/2=(in2+in-i3-i2)/2

则左下半侧n-1条总面积为:

(1*n2+1*n-13-12)/2+(2*n2+2*n-23-22)/2+(3*n2+3*n-33-32)/2+…+[(n-1)*n2+(n-1)*n-(n-1)3-(n-1)2]/2

={[1*n2+2*n2+3*n2+…+(n-1)n2]+[1n+2n+3n+…+(n-1)n]-[13+23+33+…+(n-1)3]-[12+22+32+…+(n-1)2]}/2

={[1+2+3+…+(n-1)]n2+[1+2+3+…+(n-1)]n-[13+23+33+…+(n-1)3]-[12+22+32+…+(n-1)2]}/2

=[n(n-1)/2*n2+n(n-1)/2*n-(13+23+33+…+n3)+n3-(12+22+32+…+n2)+n2]/2

=[n3(n-1)/2+n2(n-1)/2-(13+23+33+…+n3)-(12+22+32+…+n2)+n3+n2]/2

为方便书写,记13+23+33+…+n3=t2,12+22+32+…+n2=t3

两侧全部空余部分面积为:

n3(n-1)/2+n2(n-1)/2-t2-t3+n3+n2

=(n4-n3)/2+(n3-n2)/2+2n3/2+2n2/2-t2-t3

=(n4-n3+n3-n2+2n3+2n2)/2-t2-t3

=(n4+2n3+n2)/2-t2-t3

根据:空余部分面积+小正方形面积=大正方形面积,得:

(n4+2n3+n2)/2-t2-t3+t3=(n4+2n3+n2)/4

t2=(n4+2n3+n2)/2-(n4+2n3+n2)/4

t2=(2n4+4n3+2n2)/4-(n4+2n3+n2)/4

t2=(n4+2n3+n2)/4=n2(n+1)2/4

即:

13+23+33+…+n3=n2(n+1)2/4

本来要证12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6,却证出了13+23+33+…+n3=n2(n+1)2/4,可谓“有心栽花花不成,无心插柳柳成荫。”

30
2013
09

三证1^2+2^2+3^2+…+n^2=1/6*n(n+1)(2n+1)

 

12+22+32+…+n2=1/6*n(n+1)(2n+1)是在竞赛中较常用的公式。但一般的竞赛参考书只给出公式,不给予证明。在和同学探讨证明方法时,许多同学想到了用数学归纳法。

方法一:数学归纳法

n=1,左边=12=1,右边=1/6*1*(1+1)*(2*1+1)=1

左边=右边,n=1,原式成立.

假设n=k, 12+22+32+…+k2=[k(k+1)(2k+1)]/6成立,

n=k+1,

左边=12+22+32+…+k2+(k+1)2

=1/6*k(k+1)(2k+1)+(k+1)2

=(k+1)(1/3*k2+7/6*k+1)

=1/6*(k+1)(2k2+7k+6)

=1/6*(k+1)(k+2)(2k+3)

=1/6*(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

右边=1/6*(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

左边=右边,

n=k+1,原式成立.

又∵n=1,原式成立,

∴对任意nZ+,12+22+32+…+n2=1/6*n(n+1)(2n+1)都成立.

 

数学归纳法步骤简单、计算方便。但是,我们对此不太满足。归纳法只适用于知道了这个公式长什么样后进行理论证明.当初第一个推导出这个公式的人,肯定不是用归纳法,而是通过等式左边的12+22+32+…+n2,一步步把右边的1/6*n(n+1)(2n+1)”从无到有地推算出来的.

我们几个同学也决定试试.

一位同学表示:”可不可以从以前学过的一个简单的公式1+2+3+…+n=1/2*n(n+1)中得到点启发? 1+2+3+…+n=1/2*n(n+1)的左边是连续正整数的一次方相加,右边的化简式却是个二次整式.现在我们看到的12+22+32+…+n2是连续正整数的平方相加,应该可以大胆猜测,它的化简式是个三次整式.”

大家表示赞同:”有那么多平方的式子,从立方的角度去研究,就有种居高临下的感觉,应该有助于解决问题.可以从有关立方的几个公式出发,把它往12+22+32+…+n2上面转化.”

经过我们的努力,找到了一种不错的方法如下:

方法二:代数推导法

由公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+3ab(a+b)+b3,

13=(0+1)3=03+3*0*1*(0+1)+13=03+3*0*1+1

23=(1+1)3=13+3*1*1*(1+1)+13=13+3*1*2+1

33=(2+1)3=23+3*2*1*(2+1)+13=23+3*2*3+1

……

n3=(n-1+1)3=(n-1)3+3*(n-1)*1*(n-1+1)+13=(n-1)3+3n(n-1)+1

将以上所有连等式的最左边和最右边分别加起来,,

13+23+33+…+n3=03+13+23+…+(n-1)3+3*[0*1+1*2+2*3+…+(n-1)*n]+n

将左右两边相同的项消去,

n3=3*[0*1+1*2+2*3+…+(n-1)*n]+n,整理得

0*1+1*2+2*3+…+(n-1)*n=1/3*(n3-n)

0*1+1*2+2*3+…+(n-1)*n

=12+22+32+…+n2-(1+2+3+…+n)

= 12+22+32+…+n2-1/2*n(n+1)

所以12+22+32+…+n2-1/2*n(n+1)=1/3*(n3-n)

12+22+32+…+n2

=1/2*n(n+1)+1/3*(n3-n)

=1/6*n(n+1)(2n+1)

 

完成了代数推导法后,大家都觉得刚才那位同学说的,”1+2+3+…+n=1/2*n(n+1)中得到启发体现了一种类比思想,非常好.那么,这个公式能不能从其他角度启发我们呢?

我们以前学1+2+3+…+n=1/2*n(n+1),是怎么证明它的?”又一位同学问.

大家说了许多方法,但是好像都难以推广到12+22+32+…+n2上来.

我倒听说过一种几何方法”,我说,”如图1,每个小正方形边长为1,一共有n行小正方形,第一行有1,第二行有2,第三行有3……n行有n.所有小正方形的面积之和就是(1+2+3+…+n),而所有小正方形的面积之和又等于一个直角边为(n+1)的等腰直角三角形的面积减去阴影部分的面积.阴影部分由(n+1)个直角边为1的等腰直角三角形组成.所以1+2+3+…n=1/2*(n+1)^2-1/2*(n+1)=1/2*n*(n+1).

 1.JPG

1

大家纷纷表示这个方法有意思:”既然用面积思想可以来证1+2+3+…n=1/2*n*(n+1),那么12+22+32+…+n2应该能用体积思想化简.”我们探讨之后,得到了第三种方法:

方法三:立体几何法

如图2,这堆积木是由1*1*1的小立方体搭起来的.从上往下数,它的第一层有1块小立方体,第二层有2^2,第三曾有3^2……n层有n^2.

2.JPG

2

因此它的体积可以用12+22+32+…+n2来表示.

这堆积木的形状不规则,体积不便计算.但通过添加一些边角料”,可以让它变成一个规则的四棱锥,如图3.

3.JPG

3

四棱锥的体积减去的边角料的体积,就得到所有小立方体的总体积.

四棱锥的长、宽、高均为(n+1),它的体积(记为V)为与它等底等高的柱体体积的1/3.

V=1/3*(n+1)3.

再看边角料”.

观察易得边角料A,B两种,如图4.

4.JPG

4

A物块是四棱锥.每个A物块的体积为1/3*13=1/3

它在图3大四棱锥的脊部出现,每层有1,大四棱锥有(n+1),所以A物块共有(n+1).

A种边角料的总体积VA=1/3*(n+1)

B种物块是三棱柱,每个B种物块的体积为1/2*13=1/2.

它在大四棱锥的右面和后面出现.且右面和后面的数量相同(在图3,后面的B物块被小立方体挡住看不见).

易得在大四棱锥的第k,B物块的个数为2k.

B物块共有2(1+2+3+…+n)=n(n+1).

所以B种边角料的总体积VB=1/2*n(n+1)

因此,小立方体的总体积=V-VA-VB

= 1/3*(n+1)3-1/3*(n+1)-1/2*n(n+1)

=1/6*n(n+1)(2n+1)

12+22+32+…+n2=1/6*n(n+1)(2n+1)

   

这是一次很有意义的探究.类比思想、面积(体积)思想和数形结合思想都在其中有充分的体现.另外,这次探究也让我们知道,数学离不开交流合作的意识和不满足于一个答案的精神.

 

29
2013
09

网站又恢复了

     在网站服务器被挂了好几天后,终于有恢复了,哎,捡来的钱啊,相当于,这几天我都在考虑要不要再花钱去买空间去,值不值的去做,呵呵。

08
2013
09

Ubuntu 13.04设置root用户登录图形界面

在Ubuntu 12.10中使用root进行登录方法类似。

注意:新装系统可能没有启用root,在终端其他管理员用户登陆下可以用sudo passwd root来为root用户设定一个密码

1、切换到root用户.su root

06
2013
09

windows程序设计第五版--视窗(窗口)重绘原理

    这本书的主旨也很拉风----本书是地球上最有名、最受推崇、最多人使用的程序设计用书。

    在讲到第四章--输出文字这一章节的开头,值得细细的明白。

    多数Windows 程式在WinMain 中进入讯息回调之前的初始化期间都要呼叫函式UpdateWindow。Windows 利用这个机会给视窗讯息处理程式发送第一个WM_PAINT 讯息。这个讯息通知视窗讯息处理程式:必须绘制显示区域。此后,视窗讯息处理程式应在任何时刻都准备好处理其他WM_PAINT 讯息,必要的话,甚至重新绘制视窗的整个显示区域。在发生下面几种事件之一时,视窗讯息处理程式会接收到一个WM_PAINT 讯息:
    1.在使用者移动视窗或显示视窗时,视窗中先前被隐藏的区域重新可见。
    2.使用者改变视窗的大小(如果视窗类别样式有著CS_HREDRAW 和CS_VREDRAW位元旗标的设定)。
    3.程式使用ScrollWindow 或ScrollDC 函式滚动显示区域的一部分。
    4.程式使用InvalidateRect或InvalidateRgn函式刻意产生WM_PAINT讯息。
    5.在某些情况下,显示区域的一部分被临时覆盖,Windows 试图保存一个显示区域,并在以后恢复它,但这不一定能成功。在以下情况下,Windows 可能发送WM_PAINT 讯息:
    Windows 擦除覆盖了部分视窗的对话方块或讯息方块。
    功能表下拉出来,然後被释放。
    显示工具提示讯息。
    在某些情况下,Windows 总是保存它所覆盖的显示区域,然後恢复它。这些情况是:
        滑鼠游标穿越显示区域。
        图示拖过显示区域。

    处理WM_PAINT 讯息要求程式写作者改变自己向显示器输出的思维方式。程式应该组织成可以保留绘制显示区域需要的所有资讯,并且仅当「回应要求」——即Windows 给视窗讯息处理程式发送WM_PAINT 讯息时才进行绘制。如果程式在其他时间需要更新其显示区域,它可以强制Windows 产生一个WM_PAINT 讯息。这看来似乎是在萤幕上显示内容的一种舍近求远的方法。但您的程式结构可以从中受益。

 

    有效矩形和无效矩形
    尽管视窗讯息处理程式一旦接收到WM_PAINT 讯息之後,就准备更新整个显示区域,但它经常只需要更新一个较小的区域(最常见的是显示区域中的矩形区域)。显然,当对话方块覆盖了部分显示区域时,情况即是如此。在擦除对话方块之後,需要重画的只是先前被对话方块遮住的矩形区域。这个区域称为「无效区域」或「更新区域」。正是显示区域内无效区域的存在,才会让Windows 将一个WM_PAINT 讯息放在应用程式的讯息伫列中。只有在显示区域的某一部分失效时,视窗才会接受WM_PAINT 讯息。Windows内部为每个视窗保存一个「绘图资讯结构」,这个结构包含了包围无效区域的最小矩形的座标以及其他资讯,这个矩形就叫做「无效矩形」,有时也称为「无效区域」。如果在视窗讯息处理程式处理WM_PAINT讯息之前显示区域中的另一个区域变为无效,则Windows 计算出一个包围两个区域的新的无效区域(以及一个新的无效矩形),并将这种变化後的资讯放在绘制资讯结构中。Windows 不会将多个WM_PAINT 讯息都放在讯息伫列中。视窗讯息处理程式可以通过呼叫InvalidateRect 使显示区域内的矩形无效。如果讯息伫列中已经包含一个WM_PAINT 讯息,Windows 将计算出新的无效矩形。否则,它将一个新的WM_PAINT讯息放入讯息伫列中。在接收到WM_PAINT讯息时,视窗讯息处理程式可以取得无效矩形的座标(我们马上就会看到这一点)。通过呼叫GetUpdateRect,可以在任何时候取得这些座标。在处理WM_PAINT 讯息处理期间,视窗讯息处理程式在呼叫了BeginPaint之後,整个显示区域即变为有效。程式也可以通过呼叫ValidateRect 函式使显示区域内的任意矩形区域变为有效。如果这呼叫具有令整个无效区域变为有效的效果,则目前伫列中的任何WM_PAINT 讯息都将被删除。

   

    GDI简介
    要在视窗的显示区域绘图,可以使用Windows的图形装置介面(GDI)函式。Windows提供了几个GDI 函式,用於将字串输出到视窗的显示区域内。我们已经在上一章看过DrawText 函式,但是目前使用最为普遍的文字输出函式是
TextOut。该函式的格式如下:
    TextOut (hdc, x, y, psText, iLength) ;
TextOut 向视窗的显示区域写入字串。psText 参数是指向字串的指标,iLength是字串的长度。x 和y 参数定义了字串在显示区域的开始位置(不久会讲述关於它们的详细情况)。hdc 参数是「装置内容代号」,它是GDI 的重要部分。实际上,每个GDI 函式都需要将这个代号作为函式的第一个参数。

06
2013
09

MCGSE7_6的帮助文件_水位控制系统

MCGS水位控制系统1.JPG

 

主画面

 

MCGS水位控制系统2.JPG

水位控制系统工程文件(MCGSE7_6版本)下载地址:

 http://pan.baidu.com/share/link?shareid=1461029867&uk=67362253

04
2013
09

windows程序设计第5版

    windows程序设计第5版  一本很经典的计算机编程书记,全书所用编程环境为VC6.0+PSDK(platform sdk2003)。psdk有300多M,安装完后也得700M-1G吧。如果不安装PSDK的话,编译会通不过,书中所有例程均为.c语言源文件组成。用windows API编程。windows 95的API就有2000多个,估计windows2000以上的版本的API得有3000-5000个。也可以不安装PSDK,用我修改后的C++版本代码编译。下面是书籍和代码的下载地址。当初为了把.c修改成.c++.忙到凌晨2点多。但是用c++版本的代码编译可以省去安装PSDK的麻烦。通过这本书,让我看到了编程语言只是工具,SDK提供的API函数调用接口才是应用程序的底层组成。编程语言只是完成逻辑功能和操作系统函数API调用,以及自身编程语言库函数调用。连接器link完成了该操作系统平台应用程序(对windows程序为.exe)的生成。

    下面是电子书和源代码以及相关工具下载地址:

    windows程序设计第五版(英文版):http://pan.baidu.com/share/link?shareid=781627673&uk=67362253

    windows程序设计第五版(中文版):http://pan.baidu.com/share/link?shareid=788295789&uk=67362253

    windows程序设计第五版源代码C++:http://pan.baidu.com/share/link?shareid=792612012&uk=67362253

    windows程序设计第五版源代码C:http://pan.baidu.com/share/link?shareid=798684125&uk=67362253

    windows平台 PSDK 支持VC6.0的最后一个版本:http://pan.baidu.com/share/link?shareid=805831973&uk=67362253

    windows平台SDK编程:http://pan.baidu.com/share/link?shareid=812916676&uk=67362253

    

 

02
2013
09

IP等级防护标准

    IP是Ingress Protection的缩写,IP等级是针对电气设备外壳对异物侵入的防护等级,来源是国际电工委员会的标准IEC 60529,这个标准在2004年也被采用为美国国家标准。
    在这个标准中,针对
电气设备外壳对异物的防护,IP等级的格式为IPXX,其中XX为两个阿拉伯数字,第一标记数字表示接触保护和外来物保护等级,第二标记数字表示防水保护等级,具体的防护等级可以参考下面的表格。   IP是国际用来认定防护等级的代号 Ip等级由两个数字所组成,第一个数字表示防尘;第二个数字由表示防水,数字越大表示其防护等组长越佳。
防尘等级
  号码 防护程度 定义
  0 无防护 无特殊的防护
  1 防止大于50mm之物体侵入 防止人体因不慎碰到灯具内部零件 防止直径大于50mm之物体侵入
  2 防止大于12mm之物体侵入 防止手指碰到灯具内部零件
  3 防止大于2.5mm之物全侵入 防止直径大于2.5mm的工具,电线或物体侵入
  4 防止大于1.0mm之物体侵入 防止直径大于1.0的蚊蝇、昆虫或物体侵入
  5 防尘 无法完全防止灰尘侵入,但侵入灰尘量不会影响灯具正常运作
  6 防尘 完全防止灰尘侵入
  
防水等级
  号码 防护程度 定义
  0 无防护 无特殊的防护
  1 防止滴水侵入 防止垂直滴下之水滴
  2 倾斜15度时仍防止滴水侵入 当灯具倾斜15度时,仍可防止滴水
  3 防止喷射的水侵入 防止雨水、或垂直入夹角小于50度方向所喷射之水
  4 防止飞溅的水侵入 防止各方向飞溅而来的水侵入
  5 防止大浪的水侵入 防止大浪或喷水孔急速喷出的水侵入
  6 防止大浪的水侵入 灯具侵入水中在一定时间或
水压的条件下,仍可确保灯具正常运作
  7 防止侵水的水侵入 灯具无期限的沉没水中在一定
水压的条件下,及可确保灯具正常运作
  8 防止沉没的影响

  IP(INTERNATIONAL PROTECTION)等级所依据的标准有:   
1)由IEC(INTERNATIONAL ELECTROTECHNICAL COMMISSION)所起草国际防护和防水试验标准:
国际电工委员会标准IEC 529 – 598   
2)国标GB 700 – 86   
3)GB 4208等。   
IP等级实验室:目前能进行IP等级试验的实验室主要有环境可靠性与电磁兼容试验中心,航天环境可靠性试验与检测中心等。

28
2013
08

中国银行电子口令卡拆解

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