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2014
02

珠心算口诀表

下载地址:

http://pan.baidu.com/s/1i37LSwd

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珠心算加减法(三)--转载

第四节 珠算退位的减法

减法退位的规律是:退1+补(左手退1,右手加补)

①     ②      ③     ④      ⑤      ⑥      ⑦     ⑧     

10     10      10     10      10      11      12     14     14

-1     -2      -3     -4      -5      -6      -7     -8     -9

-3     -3      -5     -1      -5      -5      -5     -1     -5

  

 ①步骤:在算盘的十位档上右手拇指上推1入盘,然后减1时根据减法退位的规律,退1+补,1的补数是9,左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档上双合9靠梁,此时算盘的结果是9,再用右手食指在个位档上下拨3离梁,最后的结果就是6。

②步骤:在算盘的十位档上右手拇指上推1入盘,然后减2时根据减法退位的规律,退1+补,2的补数是8,左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档上双合8靠梁,此时算盘的结果是8,再用右手食指在个位档上下拨3离梁,最后的结果就是5。

③步骤:在算盘的十位档上右手拇指上推1入盘,然后减3时根据减法退位的规律,退1+补,3的补数是7,左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档上双合7靠梁,此时算盘的结果7,再用右手食指在个位档上上挑5离梁,最后的结果就是2。

④步骤:在算盘的十位档上右手拇指上推1入盘,然后减4时根据减法退位的规律,退1+补,4的补数是6,左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档上双合6靠梁,此时算盘的结果是6,再用右手食指在个位档上下拨1离梁,最后的结果就是5 

⑤步骤:在算盘的十位档上右手拇指上推1入盘,然后减5时根据减法退位的规律,退1+补,5的补数是5,左手食指在十位档上下拨1同时右手食指在个位档上下拨5靠梁,此时算盘的结果是5,再用右手食指在个位档上上挑5离梁,最后的结果就是0。

⑥步骤:在算盘的十位档、个位档上右手拇指同时上推1入盘,然后减6时根据减法退位的规律,退1+补,6的补数是4,左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档下5去1(凑5法双下),此时算盘的结果是5,再用右手食指在个位档上上挑5离梁,最后的结果就是0。 

⑦步骤:在算盘的十位档、个位档上右手拇指同时上推1、上推2入盘,然后减7时根据减法退位的规律,退1+补,7的补数是3,左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档下5去2(凑5法双下),此时算盘的结果是5,再用右手食指在个位档上上挑5离梁,最后的结果就是0。 

⑧步骤:在算盘的十位档、个位档上右手拇指同时上推1、上推4入盘,然后减8时根据减法退位的规律,退1+补,8的补数是2,左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档下5去3(凑5法双下),此时算盘的结果是6,再用右手食指在个位档上下拨1离梁,最后的结果就是5。 

⑨步骤:在算盘的十位档、个位档上右手拇指同时上推1、上推4入盘,然后减9时根据减法退位的规律,退1+补,9的补数是1,左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档下5去4(凑5法双下),此时算盘的结果是5,再用右手食指在个位档上上挑5离梁,最后的结果就是0。

  

※基本功训练:

定数1—9每个加完之后减到0

达标要求:每个1分钟之内打完

  

第五节 珠算多为位数加减法

运算法则是:个位固定,数位对齐,从左到右,同位相加减。

 ①         ②           

 28        684         7,632

 74        319        -3,637

-53       -549         5,047

  

①步骤:在算盘的个位档、十位档上右手同时上拨2、双合8入盘。

然后加74,先加十位7右手拇指、食指在十位档上双合7入盘,加个位4时右手在个位档上双分6离梁、在十位档上双分9离梁同时左手食指在百位档上进1,此时算盘的结果为102。

减53时先减十位档的5,左手食指在百位档下拨1同时右手食指在十位档上下拨5靠梁,减3时,左手中指在十位档上挑5离梁、左手食指在十位档上挑4靠梁同时右手拇指、食指在个位档上双合7靠梁,最后算盘的结果是49。

②步骤:在算盘的百位档、十位档、个位档上右手同时双合6、双合8、上推4靠梁。

加319时,先加百位档的3,右手拇指在百位档上推3入盘,加十位档的1,右手拇指在十位档上推1入盘,加个位档的9时,右手食指在个位档下拨1离梁、右手拇指、食指在十位档、百位档双分9离梁同时左手食指在千位档上挑1入盘,此时算盘的结果是1,003。                                                                

再减549时,先减百位档的5,左手食指在千位档下拨1同时右手食指在百位档下拨5靠梁,减十位档的4时,左手中指在十位档上挑5离梁、左手食指在十位档上挑4靠梁同时右手拇指、食指在十位档上双合6靠梁,减9时,左手食指在十位档下拨1同时右手拇指在个位档上拨1靠梁,最后算盘的结果是454。

③步骤:在算盘的千位档、百位档、十位档、个位档右手同时双合7、双合6、上推3、上推2入盘。

然后减3,637时先减千位档的3,右手拇指、食指在千位档上2上5(双上),减百位档的6时,右手拇指、食指在百位档双分6离梁,减十位档的3时,右手食指在十位档下拨3离梁,减7时,左手食指在千位档下拨1同时右手拇指、食指在百位档、十位档双合9靠梁、在个位档右手拇指、食指下5去2.,此时算盘的结果是3995。

再加5,047时,先加千位档的5,右手食指在千位档下拨5靠梁,百位档是0就不用加了,加十位档的4时,右手拇指食指在十位档双分6、在百位档双分9同时左手食指在千位档上挑1靠梁,加各位档的7时,右手拇指、食指在个位档上2上5同时左手食指在十位档上挑1靠梁。最后算盘的结果就是9,042。

  

※基本功训练:

常数15:1,500   常数625:62,500   打百子:5,050  

达标要求:每个1分30秒之内加完减完。

 

常数16,875:1,687,500         (不限时,越快越好)

常数123,456,789: 12,345,678,900(不限时,越快越好)

  

第六节 珠算负数加减法

负数:小于0数叫负数。

例:256-753=-497

原理:减不开时用大数减小数,再添个-号。

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2014
02

珠心算加减法(二)--转载

第三节  珠算进位的加法

   如果两个数相加和等于10,那么这两个数就互为补数。像1—9、2—8、3—7、4—6、5—5

   加法进位的规律是进1-补(左手进1,右手减补)

   ①      ②       ③      ④       

                                

                             8

                             5

   

   ①步骤:在算盘的个位档上右手拇指上推4入盘,然后右手食指下拨5入盘,此时算盘的结果是9,再加1时,个位已满需向十位进位,根据加法进位的规律进1-补,1的补数是9,左手食指在十位上挑1的同时右手拇指、食指在个位双分9离梁。那么最后结果就是10。 

   ②步骤:在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘,然后右手拇指、食指双合7入盘,此时算盘的结果是8,再加2时,个位以经不够加了需向十位进位,根据加法进位的规律进1-补,2的补数是8,左手食指在十位上挑1的同时右手拇指、食指在个位双分8离梁。那么最后结果就是10。 

   ③步骤:在算盘的个位档上右手拇指上推3入盘,然后右手食指下拨5入盘,此时算盘的结果是8,再加3时,个位已经不够了需向十位进位,根据加法进位的规律进1-补,3的补数是7,左手食指在十位上挑1的同时右手拇指、食指在个位双分7离梁。那么最后结果就是11。

     ④步骤:在算盘的个位档上右手拇指、食指双合7入盘,然后右手拇指上推2入盘,此时算盘的结果是9,再加4时,个位已满需向十位进位,根据加法进位的规律进1-补,4的补数是6,左手食指在十位上挑1的同时右手拇指、食指在个位双分6离梁。那么最后结果就是13。

     ⑤步骤:在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘,然后右手拇指、食指双合8入盘,此时算盘的结果是9,再加5时,个位已满需向十位进位,根据加法进位的规律进1-补,5的补数是5,左手食指在十位上挑1的同时右手食指在个位上挑5离梁。那么最后结果就是14。

 

     ※基本功训练:

   定数1:150 定数2:240 定数3:360 定数4:480 定数5:750

   达标要求:每个30秒之内打完

 

   ①      ②       ③      ④       ⑤       ⑥       ⑦      

                                                    5

                                                 9

                                                 5

  

   ①步骤:在算盘的个位档上右手拇指上推4入盘,然后加6时根据加法进位的规律进1减补,6的补数是4,左手食指在十位上挑1的同时右手食指在个位下拨4离盘,此时算盘的结果是10,再用右手拇指在个位上推2入盘,那么最后结果就是12。

    ②步骤:在算盘的个位档上右手食指下拨5入盘,然后加6时根据加法进位的规律进1减补,6的补数是4,左手食指在十位上挑1的同时右手拇、指食指在个位上1上5(破5法双上),此时算盘的结果是11,再用右手食指在个位下拨5入盘,那么最后结果就是16。

    ③步骤:在算盘的个位档上右手拇指上推3入盘,然后加7时根据加法进位的规律进1减补,7的补数是3,左手食指在十位上挑1的同时右手食指在个位下拨3离盘,此时算盘的结果是10,再用右手食指在个位下拨5入盘,那么最后结果就是15。

    ④步骤:在算盘的个位档上右手食指下拨5入盘,然后加7时根据加法进位的规律进1减补,7的补数是3,左手食指在十位上挑1的同时右手拇、指食指在个位上2上5(破5法双上),此时算盘的结果是12,再用右手姆指在个位上推1入盘,那么最后结果就是13。

    ⑤步骤:在算盘的个位档上右手拇指上推3入盘,然后加8时根据加法进位的规律进1减补,8的补数是2,左手食指在十位上挑1的同时右手食指在个位下拨2离盘,此时算盘的结果是11,再用右手拇指在个位上推2入盘,那么最后结果就是13。

    ⑥步骤:在算盘的个位档上右手拇指、食指双合6入盘,然后加8时根据加法进位的规律进1减补,8的补数是2,左手食指在十位上挑1的同时右手拇、指食指在个位上3上5(破5法双上),此时算盘的结果是14,再用右手食指在个位下拨5入盘,那么最后结果就是19。

    ⑦步骤:在算盘的个位档上右手拇指上推2入盘,然后加9时根据加法进位的规律进1减补,9的补数是1,左手食指在十位上挑1的同时右手食指在个位下拨1离盘,此时算盘的结果是11,再用右手食指在个位下拨5入盘,那么最后结果就是16。

    ⑧步骤:在算盘的个位档上右手食指下拨5入盘,然后加9时根据加法进位的规律进1减补,9的补数是1,左手食指在十位上挑1的同时右手拇、指食指在个位上4上5(破5法双上),此时算盘的结果是14,再用右手食指在个位下拨5入盘,那么最后结果就是19。

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2014
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珠心算加减法(一)--转载

 原文章博客见:http://blog.sina.com.cn/s/blog_69a201680100m1oz.html

 

第一章     珠算基础知识

第一节   认识算盘

算盘主要由4个部分组成:框、梁、档、珠。

 

框:算盘的四周叫做框。上边的叫上框,下边的叫下框,左边的叫左框,右边的叫右框。

梁:上框和下框中间的横木就叫梁。梁上面的点叫做定位点。我们一般把从右往左数第二个定位点定做个位。个位的左边是十位、百位、千位……    个位的右边是十分位、百分位、千分位……

档:算盘上用来穿珠子的小棍就叫档。

珠:就是算盘珠,有上珠、下珠。上珠一个代表5,下珠一个代表1。

第二节   打算盘的姿势

握笔:

打算盘时必须握笔,将笔得上端夹在右手的拇指和食指之间,下端也就是笔尖部分夹在右手的中指和无名指之间,同时,中指、无名指、小指向手心自然弯曲。

握盘:

用左手的小指、无名指和大拇指分别轻轻地放在算盘的上框和下框上。两只胳膊必须要抬起来和桌子平行。这是想打快算盘的前提。

清盘:

左手拇指、食指在梁上从左往右将上珠、下珠分开。

坐姿:

身体坐直并稍微向前倾,两脚平放在地上。

第三节 数码训练

数码就是数字。打算盘要快,写数码也要快。

1234567890 每分钟最少20遍。

多练习珠译数、数译珠的训练。

 

 第二章  珠算加减法 

 第一节 珠算不进位的加法

直接加:

①        ②       ③       

                      1

                      7

                      1

 

①步骤:在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘,然后右手拇指上推2入盘,此时算盘的结果是3,再用右手拇指上推1入盘,那么最后结果就是4。

②步骤:在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘,然后右手拇指上推3入盘,此时算盘的结果是4,再用右手食指下拨5入盘,那么最后结果就是9。

③步骤:在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘,然后右手拇指上推2入盘,此时算盘的结果是3,再用右手拇指、食指双合6入盘,那么最后的结果就是9。

④步骤:在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘,然后右手拇指、食指双合7入盘,此时算盘的结果是8,再用右手拇指上推1入盘,那么最后结果就是9。

凑5加:

如果两个数相加和等于5,那么这两个数就互为凑数。像1—4、2—3

规律是+5-凑(双下):

①       ②       ③       ④    

                             

                         

                        

 

①步骤:在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘,然后右手拇指上推3入盘,此时算盘的结果是4,再加1时就用到+5-凑,1的凑数是4,右手食指下5同时拇指去4(双下),那么最后结果就是5。

②步骤:在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘,然后右手拇指上推3入盘,此时算盘的结果是4,再加2时就用到+5-凑,2的凑数是3,右手食指下5同时拇指去3(双下),那么最后的结果就是6。

③步骤:在算盘的个位档上右手拇指上推2入盘,然后加3时就用到+5-凑,3的凑数是2,右手食指下5同时拇指去2(双下),此时算盘的结果是5,再用右手拇指上推2入盘,那么最后的结果就是7。

④步骤:在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘,然后加4时就用到+5-凑,4的凑数是1,右手食指下5同时拇指去1(双下)此时算盘的结果是5,再用右手拇指上推3入盘,那么最后的结果就是8。

 

第二节 珠算够减的减法

直接减:

 ①       ②       

                 

-2       -2       -2  

-1       -5       -6  

 

①步骤:在算盘的个位档上右手拇指上推4入盘,然后右手食指下拨2离盘,此时算盘的结果是2,再用右手食指下拨1离盘,最后的结果就是1。

②步骤:在算盘的个位档上右手拇指、食指双合9入盘,然后右手食指下拨2离盘,此时算盘的结果是7,再用右手食指上挑5离盘,最后的结果就是2。

③步骤:在算盘的个位档上右手拇指、食指双合8入盘,然后右手食指下拨2离盘,此时算盘的结果是6,再用右手拇指、食指双分6离盘,最后的结果就是0。

破5减:

规律是-5+凑(双上):

 ①       ②      ③       

                               

-4       -2      -3       -4    

-1       -3      -2       -1    

 

 ①步骤:在算盘的个位档上右手拇指、食指双合9入盘,然后右手食指下拨4离盘,此时算盘上的结果是5。再减1,根据-5+凑,1的凑数是4,右手食指上挑5离梁同时拇指上拨4靠梁(双上),最后的结果就是4。

 ②步骤:在算盘的个位档上右手拇指、食指双合6入盘,然后减2,根据-5+凑,2的凑数是3,右手食指上挑5离梁同时拇指上拨3靠梁,此时算盘上的结果是4。再用右手食指下拨3离梁,最后的结果就是1。

 ③步骤:在算盘的个位档上右手拇指、食指双合7入盘,然后减3,根据-5+凑,3的凑数是2,右手食指上挑5离梁同时拇指上拨2靠梁,此时算盘上的结果是4。再用右手食指下拨2离梁,最后的结果就是2。

 ④步骤:在算盘的个位档上右手食指下拨5入盘。然后减4,根据-5+凑,4的凑数是1,右手食指上挑5离梁同时拇指上拨1靠梁,此时算盘上的结果是1。再用右手食指下拨1离梁,最后的结果就是0。

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2013
09

几何证明1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

根据我昨日证明公式13+23+33+…+n3=n2(n+1)2/4的方法,我重新排列了正方形的位置,终于成功证明了公式12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6。证明图如下:

1.JPG

图中有n个正方形(我只画出5个),都置于图中最大的矩形中。

矩形的宽即n

矩形的长:1+2+3+…+n=n(n+1)/2=(n2+n)/2

矩形面积:n(n2+n)/2=(n3+n2)/2

左下部空余部分(矩形与全部正方形的差)可以分为n-1条。

每条宽度均为1。从上向下数第i条长度=1+2+3+…+i=i(i+1)/2=(i2+i)/2

则第i条面积也为(i2+i)/2。

所有n-1条的总面积:

(12+1)/2+(22+2)/2+(32+3)/2+…+[(n-1)2+(n-1)]/2

={[12+22+32+…+(n-1)2]+[1+2+3+…+(n-1)]}/2

=[(12+22+32+…+n2)-n2+n(n-1)/2]/2

=[(12+22+32+…+n2)-2n2/2+(n2-n)/2]/2

=[(12+22+32+…+n2)-(n2+n)/2]/2

为便于书写,记12+22+32+…+n2=t2

显然,大矩形面积=全部正方形面积+空余部分面积,则

(n3+n2)/2=t+[t-(n2+n)/2]/2

n3+n2=2t+t-(n2+n)/2

2n3+2n2=6t-n2-n

6t=2n3+3n2+n

t=n(n+1)(2n+1)/6

即:

12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

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2013
09

几何证明1^3+2^3+3^3+…+n^3=n^2(n+1)^2/4

为证明12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6,我决定借助于几何图形。如图:

1.JPG

图中有n个小正方形(我只画了5个)连接,边长分别为1、2、3、…、n。这些小正方形都置于一个大正方形中,则

大正方形边长=1+2+3+…+n=n(n+1)/2

大正方形面积=[n(n+1)/2]2=(n4+2n3+n2)/4

将空余部分分条。

先看左下部分,共有n-1条。设某条按从左到右顺序为第i条,则:

该条宽度即为i。

该条长度=(i+1)+(i+2)+(i+3)+…+n=(n-i)(n+i+1)/2=(n2+n-i2-i)/2

则该条面积=i(n2+n-i2-i)/2=(in2+in-i3-i2)/2

则左下半侧n-1条总面积为:

(1*n2+1*n-13-12)/2+(2*n2+2*n-23-22)/2+(3*n2+3*n-33-32)/2+…+[(n-1)*n2+(n-1)*n-(n-1)3-(n-1)2]/2

={[1*n2+2*n2+3*n2+…+(n-1)n2]+[1n+2n+3n+…+(n-1)n]-[13+23+33+…+(n-1)3]-[12+22+32+…+(n-1)2]}/2

={[1+2+3+…+(n-1)]n2+[1+2+3+…+(n-1)]n-[13+23+33+…+(n-1)3]-[12+22+32+…+(n-1)2]}/2

=[n(n-1)/2*n2+n(n-1)/2*n-(13+23+33+…+n3)+n3-(12+22+32+…+n2)+n2]/2

=[n3(n-1)/2+n2(n-1)/2-(13+23+33+…+n3)-(12+22+32+…+n2)+n3+n2]/2

为方便书写,记13+23+33+…+n3=t2,12+22+32+…+n2=t3

两侧全部空余部分面积为:

n3(n-1)/2+n2(n-1)/2-t2-t3+n3+n2

=(n4-n3)/2+(n3-n2)/2+2n3/2+2n2/2-t2-t3

=(n4-n3+n3-n2+2n3+2n2)/2-t2-t3

=(n4+2n3+n2)/2-t2-t3

根据:空余部分面积+小正方形面积=大正方形面积,得:

(n4+2n3+n2)/2-t2-t3+t3=(n4+2n3+n2)/4

t2=(n4+2n3+n2)/2-(n4+2n3+n2)/4

t2=(2n4+4n3+2n2)/4-(n4+2n3+n2)/4

t2=(n4+2n3+n2)/4=n2(n+1)2/4

即:

13+23+33+…+n3=n2(n+1)2/4

本来要证12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6,却证出了13+23+33+…+n3=n2(n+1)2/4,可谓“有心栽花花不成,无心插柳柳成荫。”

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2013
09

三证1^2+2^2+3^2+…+n^2=1/6*n(n+1)(2n+1)

 

12+22+32+…+n2=1/6*n(n+1)(2n+1)是在竞赛中较常用的公式。但一般的竞赛参考书只给出公式,不给予证明。在和同学探讨证明方法时,许多同学想到了用数学归纳法。

方法一:数学归纳法

n=1,左边=12=1,右边=1/6*1*(1+1)*(2*1+1)=1

左边=右边,n=1,原式成立.

假设n=k, 12+22+32+…+k2=[k(k+1)(2k+1)]/6成立,

n=k+1,

左边=12+22+32+…+k2+(k+1)2

=1/6*k(k+1)(2k+1)+(k+1)2

=(k+1)(1/3*k2+7/6*k+1)

=1/6*(k+1)(2k2+7k+6)

=1/6*(k+1)(k+2)(2k+3)

=1/6*(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

右边=1/6*(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

左边=右边,

n=k+1,原式成立.

又∵n=1,原式成立,

∴对任意nZ+,12+22+32+…+n2=1/6*n(n+1)(2n+1)都成立.

 

数学归纳法步骤简单、计算方便。但是,我们对此不太满足。归纳法只适用于知道了这个公式长什么样后进行理论证明.当初第一个推导出这个公式的人,肯定不是用归纳法,而是通过等式左边的12+22+32+…+n2,一步步把右边的1/6*n(n+1)(2n+1)”从无到有地推算出来的.

我们几个同学也决定试试.

一位同学表示:”可不可以从以前学过的一个简单的公式1+2+3+…+n=1/2*n(n+1)中得到点启发? 1+2+3+…+n=1/2*n(n+1)的左边是连续正整数的一次方相加,右边的化简式却是个二次整式.现在我们看到的12+22+32+…+n2是连续正整数的平方相加,应该可以大胆猜测,它的化简式是个三次整式.”

大家表示赞同:”有那么多平方的式子,从立方的角度去研究,就有种居高临下的感觉,应该有助于解决问题.可以从有关立方的几个公式出发,把它往12+22+32+…+n2上面转化.”

经过我们的努力,找到了一种不错的方法如下:

方法二:代数推导法

由公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+3ab(a+b)+b3,

13=(0+1)3=03+3*0*1*(0+1)+13=03+3*0*1+1

23=(1+1)3=13+3*1*1*(1+1)+13=13+3*1*2+1

33=(2+1)3=23+3*2*1*(2+1)+13=23+3*2*3+1

……

n3=(n-1+1)3=(n-1)3+3*(n-1)*1*(n-1+1)+13=(n-1)3+3n(n-1)+1

将以上所有连等式的最左边和最右边分别加起来,,

13+23+33+…+n3=03+13+23+…+(n-1)3+3*[0*1+1*2+2*3+…+(n-1)*n]+n

将左右两边相同的项消去,

n3=3*[0*1+1*2+2*3+…+(n-1)*n]+n,整理得

0*1+1*2+2*3+…+(n-1)*n=1/3*(n3-n)

0*1+1*2+2*3+…+(n-1)*n

=12+22+32+…+n2-(1+2+3+…+n)

= 12+22+32+…+n2-1/2*n(n+1)

所以12+22+32+…+n2-1/2*n(n+1)=1/3*(n3-n)

12+22+32+…+n2

=1/2*n(n+1)+1/3*(n3-n)

=1/6*n(n+1)(2n+1)

 

完成了代数推导法后,大家都觉得刚才那位同学说的,”1+2+3+…+n=1/2*n(n+1)中得到启发体现了一种类比思想,非常好.那么,这个公式能不能从其他角度启发我们呢?

我们以前学1+2+3+…+n=1/2*n(n+1),是怎么证明它的?”又一位同学问.

大家说了许多方法,但是好像都难以推广到12+22+32+…+n2上来.

我倒听说过一种几何方法”,我说,”如图1,每个小正方形边长为1,一共有n行小正方形,第一行有1,第二行有2,第三行有3……n行有n.所有小正方形的面积之和就是(1+2+3+…+n),而所有小正方形的面积之和又等于一个直角边为(n+1)的等腰直角三角形的面积减去阴影部分的面积.阴影部分由(n+1)个直角边为1的等腰直角三角形组成.所以1+2+3+…n=1/2*(n+1)^2-1/2*(n+1)=1/2*n*(n+1).

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1

大家纷纷表示这个方法有意思:”既然用面积思想可以来证1+2+3+…n=1/2*n*(n+1),那么12+22+32+…+n2应该能用体积思想化简.”我们探讨之后,得到了第三种方法:

方法三:立体几何法

如图2,这堆积木是由1*1*1的小立方体搭起来的.从上往下数,它的第一层有1块小立方体,第二层有2^2,第三曾有3^2……n层有n^2.

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2

因此它的体积可以用12+22+32+…+n2来表示.

这堆积木的形状不规则,体积不便计算.但通过添加一些边角料”,可以让它变成一个规则的四棱锥,如图3.

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四棱锥的体积减去的边角料的体积,就得到所有小立方体的总体积.

四棱锥的长、宽、高均为(n+1),它的体积(记为V)为与它等底等高的柱体体积的1/3.

V=1/3*(n+1)3.

再看边角料”.

观察易得边角料A,B两种,如图4.

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4

A物块是四棱锥.每个A物块的体积为1/3*13=1/3

它在图3大四棱锥的脊部出现,每层有1,大四棱锥有(n+1),所以A物块共有(n+1).

A种边角料的总体积VA=1/3*(n+1)

B种物块是三棱柱,每个B种物块的体积为1/2*13=1/2.

它在大四棱锥的右面和后面出现.且右面和后面的数量相同(在图3,后面的B物块被小立方体挡住看不见).

易得在大四棱锥的第k,B物块的个数为2k.

B物块共有2(1+2+3+…+n)=n(n+1).

所以B种边角料的总体积VB=1/2*n(n+1)

因此,小立方体的总体积=V-VA-VB

= 1/3*(n+1)3-1/3*(n+1)-1/2*n(n+1)

=1/6*n(n+1)(2n+1)

12+22+32+…+n2=1/6*n(n+1)(2n+1)

   

这是一次很有意义的探究.类比思想、面积(体积)思想和数形结合思想都在其中有充分的体现.另外,这次探究也让我们知道,数学离不开交流合作的意识和不满足于一个答案的精神.

 

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